Himpunan

Sebelum mendalami pelajaran tentang himpunan, terlebih dahulu kita kaji firman Allah SWT. Dalam surah Al-Faathir ayat 1 berikut ini.

߉ôJptø:$# ¬! ̍ÏÛ$sù ÏNºuq»yJ¡¡9$# ÇÚö‘F{$#ur È@Ïã%y` Ïps3Í´¯»n=yJø9$# ¸xߙ①þ’Í<'ré& 7pysÏZô_r& 4‘oY÷V¨B y]»n=èOur yì»t/â‘ur 4 ߉ƒÌ“tƒ ’Îû È,ù=sƒø:$# $tB âä!$t±o„ 4 ¨bÎ) ©!$# 4’n?tã Èe@ä. &äóÓx« ֍ƒÏ‰s% ÇÊÈ  

Artinya:

Segala puji bagi Allah Pencipta langit dan bumi, yang menjadikan Malaikat sebagai utusan-utusan (untuk mengurus berbagai macam urusan) yang mempunyai sayap, masing-masing (ada yang) dua, tiga dan empat. Allah menambahkan pada ciptaan-Nya apa yang dikehendaki-Nya. Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu. (QS. Al-Faathir : 1).

Dalam ayat 1 surah Al-Faathir ini di jelaskan sekelompok, segolongan, atau sekumpulan makhluk yang disebut mailakat. Dalam sekelompok malaikat tersebut terdapat sekelompok malaikat yang mempunyai dua sayap, tiga sayap, atau empat sayap. Bahkan sangat dimungkinkan terdapat sekelompok malaikat yang mempunyai lebih dari empat sayap jika Allah swt. berkehendak. Dalam ayat ini ada sebuah konsep yang menerangkan tentang kelompok, gologan, dan juga kumpulan beberapa objek yang mempunyai sifat-sifat tertentu yang biasa disebut dengan himpunan.

A.      Himpunan (set)

1.   Pengertian Himpunan (set)

Himpunan (set) adalah suatu kumpulan/kelopok elemen-elemen yang memenuhi persyarat keanggotaan. Elemen-eleman yang sudah memenuhi persyaratan keanggotaan ini disebut unsur atau anggota dari himpunan tersebut. Untuk lebih memahami perhatikan contoh-contoh himpunan berikut ini.

a.   Kumpulan orang Islam Indonesia.

b.   Kumpulan para nabi.

c.   Kumpulan wanita cantik di Indonesia

d.   Kumpulan orang cerdas.

Dari conth di atas, a dan b termasuk dari suatu himpunan karena contoh sudah jelas dan pasti tanpa ada pertanyaan lagi. Seperti halnya contoh yang pertama, semua yang ada dalam Negara Indonesia termasuk dari anggota himpunan tersebut. Namun cotoh yang c dan d bukan termasuk dari himpunan karena sifat cantik dan cerdas itu masih relatif. Menurut kita cantik belum tentu menurut orang lain ini cantik, jadi contoh ini masih menimbul beberapa pendapat antara yang satu dengan yang lain.

2.   Notasi dan Anggota Himpunan

Himpunan biasanya disimbolkan dengan huruf kapital, seperti A, B, D, dan sebagainya. Sedangkan benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Contoh :

Nyatkan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.

a.    A adalah himpunan dari Sholat Fardhu yang rakaatnya berjumlah 4.

b.   B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 8.

c.    C adalah himpunan 3 binatang berkaki 2.

Jawab :

a.    A adalah himpunan Sholat Fardhu yang rakaatnya berjumlah 4.

Anggota himpunan Sholat fardhu yang rakaatnya berjumlah 4 adalah Sholat Dhuhur, Sholat Ashar, dan Sholat Isya’.

Jadi, A = {Sholat Dhuhur, Sholat Ashar, Sholat Isya’}

b.   B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 8.

Anggota himpunan bilangan asli yang kurang dari 8 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Jadi, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

c.      C adalah himpunan 3 binatang yang berkaki 2.

Anggota dari 3 binatang yang berkaki 2 adalah ayam, itik, dan merpati.

Jadi, C = {ayam, itik, merpati}.

Setiap objek yang terdapat dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu yang dinotasikan dengan . Sedangkan objek yang tidak terdapat dalam himpunan tersebut dikatakan bukan anggota himpunan yang dinotasikan denga . Berdasarkan contoh yang tertera di atas, A adalah himpunan Sholat Fardhu yang rakaatnya 4, sehingga A = {Sholat Dhuhur, Sholat Ashar, Sholat Isya’}. Sholat Dhuhur merupakan elemen dari himpunan A maka di tulis dengan Sholat Dhuhur A. Sedangkan untuk Sholat Subuh karena bukan merupakan anggota dari A maka ditulis dengan Sholat Subuh  A. Banyak dari suatu himpunan dapat dinyatakan dengan n. Jika A = {Sholat Dhuhur, Sholat Ashar, Sholat Isya’} maka n(A) = banayak himpunan A = 6.

Himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.

a.    Dengan kata-kata

Dengan cara menyebutkan semua anggota yang ada dalam himpunan.

Contoh : M adalah himpunan para malaikat yang wajib diketahui,

Ditulis dengan M = {para malaikat yang wajib diketahui}.

b.   Dengan notasi pembentuk himpunan

Sama halnya dengan menyatkan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua anggotanya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa dipakai dalam cara ini adalah x dan y.

Contoh: A : {bilangan asli antara 8 dan 14}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis A = {8 < x < 10, x  bilangan asli}.

c.    Dengan mendaftar anggota-anggotanya

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh: P = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

3.   Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota dan dapat didefiniskan. Sedangkan Himpunan Tak Berhingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota namun tak dapat didefinisikan.

Contoh :

Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut.

a.      P = {Huruf pembentuk kata GILIRAJA}

b.     Q = {1, 2, 3, 4, ..., 9}

c.      R = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Jawab :

a.      Banyak anggota P adalah 8, ditulis n(P) = 8.

b.     Banyak anggota Q adalah 9, ditulid n(Q) = 9.

c.      Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(R) = tak berhingga.

B.      Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

1.   Himpunan Kosong dan Himpunan Nol

Himpunan kosong (empty set, void set, atau null set) adalah himpunan yang tidak mempunyai satu anggota pun dan biasanya disajikan dengan simbol  atau { }.

Contoh :

N adalah himpunan nama-nama sholat fardhu yang hanya 1 rakaat.

Jawab :

Nama-nama sholat fardhu dengan rakaatnya adalah Isya’ 4 rakaat, Subuh 2 rkaat, Dhuhur 4 rakaat, Ashar 4 rakaat, dan Maghrib 3 rakaat. Karena tidak ada sholat fardhu yang rakaatnya 1, makan N dikatakan himpunan kosong, ditulis dengan N =  atau N = {}.

2.   Himpunan semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicara adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicara) biasanya dilambangkan dengan S.

Contoh :

Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut.

a.      A = {3,7,9,11,13}

b.     B = {Kerbau, Kambing, Sapi}

Jawab:

a.      A = {3,7,9,11,13}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah

S = {Bilangan Asli}

S = {Bilangan Cacah}

S = {Bilangan Ganjil}

b.     B = { Kerbau, Kambing, Sapi }, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan B adalah

S = {Binantang}

S = {Binantang berkaki empat}

S = {Binantang memamah biak}.

C.      Himpunan Bagian

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B bila setiap anggota A juga merupakan anggota B. Himpunan bagian dinotasikan A B atau B A. Himpunan A bukan  merupkan himpunan bagian B, jika terdapat anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dan dinotasikan dengan A B.

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir, M.Pd. 2014. Matematika dalam Al-Qur’an. Malang : UIN – Maliki Press.

Baisuni, H.M. Hasyim. 1986. Kalkulus. Jakarta : Universitas Indonesia.

Nuharini, Dewi dan Wahyuni, Tri. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya 1. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siang, Drs. Jong Jek, M.Sc. 2004. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta : Penerbit Andi.